Формула как найти объем фигуры: Формулы площади. Площадь треугольника, квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции, круга, эллипса.
Все формулы объема геометрических тел
Все формулы объема геометрических тел
Все формулы объема геометрических тел
a — сторона куба
Формула объема куба, (V ):
a, b, c— стороны параллелепипеда
Формула объема параллелепипеда, (V):
R— радиус шара
π ≈ 3,14
Объем шара, (V):
h— высота шарового слоя
R— радиус нижнего основания
r— радиус верхнего основания
π ≈ 3,14
Объем шарового слоя, (V):
h — высота сегмента
R — радиус шара
π ≈ 3,14
Объем шарового сектора, (V):
Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.
R — радиус шара
h — высота сегмента
π ≈ 3,14
Объем шарового сегмента, (V):
h— высота цилиндра
r— радиус основания
π ≈ 3,14
Объем цилиндра, (V):
H- высота конуса
R- радиус основания
π ≈ 3,14
Объем конуса, (V):
R- радиус нижнего основания
r- радиус верхнего основания
h- высота конуса
π ≈ 3,14
Объем усеченного конуса, (V ):
h — высота пирамиды
S — площадь основания ABCDE
Объем пирамиды, (V):
h — высота пирамиды
Sниж — площадь нижнего основания, ABCDE
Sверх — площадь верхнего основания, abcde
Объем усеченной пирамиды, (V):
Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.
h — высота пирамиды
a — сторона основания пирамиды
n — количество сторон многоугольника в основании
Объем правильной пирамиды, (V):
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
h — высота пирамиды
a — сторона основания
Объем правильной треугольной пирамиды, (V):
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.
h — высота пирамиды
a — сторона основания
Объем правильной четырехугольной пирамиды, (V):
Правильный тетраэдр- пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а -ребро тетраэдра
Объем правильного тетраэдра (V):
© 2016 Все права защищены.
При использовании материалов сайта ссылка на источник обязательна.
Формулы вычисления объема всех геометрических фигур
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.
Все формулы объема геометрических тел
Объем куба
Объем куба равен кубу длины его грани.
Формула объема куба:
V = a 3
где:
V – объем куба,
a – длина грани куба.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:
где:
V- объем призмы,
So – площадь основания призмы,
h – высота призмы.
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Формула объема параллелепипеда:
где:
V- объем параллелепипеда,
So – площадь основания,
h – длина высоты.
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).
Формула объема пирамиды:
где:
V – объем пирамиды,
So – площадь основания пирамиды,
h – длина высоты пирамиды.
Объем усеченной пирамиды
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
Формула объема усеченной пирамиды:
Где:
S1 – площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 – площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h – высота усеченной пирамиды.
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Формула объема цилиндра:
V= π R2 h
V= Sоh
Где:
V – объем цилиндра,
So – площадь основания цилиндра,
R – радиус цилиндра,
h – высота цилиндра,
π = 3.141592
Объем правильной треугольной пирамиды
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).
Формула объема правильной треугольной пирамиды:
Где:
V – объем пирамиды;
h – высота пирамиды;
a – сторона основания пирамиды.
Объем конуса
Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.
Формула объема конуса:
Где:
V – объем конуса;
R – радиус основания;
H – высота конуса;
I – длина образующей;
S – площадь боковой поверхности конуса.
Объем усеченного конуса
Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.
Формула объема усеченного конуса:
Где:
V – объем усеченного конуса;
H – высота усеченного конуса;
R и R2 – радиусы нижнего и верхнего оснований.
Объем тетраэдра
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Формула тетраэдра:
Где:
V – объем тетраэдра;
a – ребро тетраэдра.
Объем шара
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.
Формула объема шара:
Где:
V – объем шара;
R – радиус шара;
S – площадь сферы.
Объем шарового сегмента и сектора
Шаровый сегмент – это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.
Формула объема шарового сегмента:
Где:
R – радиус шара
H – высота сегмента
π ≈ 3,14
Формула объема шарового сектора:
Где:
h – высота сегмента
R – радиус шара
π ≈ 3,14
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:
Где:
V – объем прямоугольного параллелепипеда,
a – длина,
b – ширина,
h – высота.
Предыдущая
ГеометрияВсе формулы для вычисления радиуса вписанной окружности
Следующая
ГеометрияЦентральные и вписанные углы — примеры и правила построения
Объем прямоугольника – формула — Помощник для школьников Спринт-Олимпик.ру
Для учеников свойственно путать трехмерные и двумерные объекты. Это связано с тем, что на уроках математики изучаются в основном плоские фигуры, а ученик непроизвольно ищет примеры в реальной жизни, где существуют в основном 3д фигуры. Из-за этого возникает и частый вопрос: как найти объем прямоугольника?
Формула объема прямоугольника
Нужно запомнить раз и навсегда: формулы объема прямоугольника не существует.
Характеристики объема у прямоугольника нет, так же как нет ее и у любой двухмерной фигуры.
Аналогом объема служит площадь. Но словосочетание «объем прямоугольника» или объем треугольника» являются грубой ошибкой, и показывает незнание основных геометрических параметров.
Существует формула площади прямоугольника, она равна произведению длины на ширину и известна всем практически с первого класса.
Существует так же и формула объема прямоугольного параллелепипеда. Это фигура, которая состоит из шести граней, каждая из которых является прямоугольником. Очень часто именно эту фигуру по инерции называют прямоугольником, но это ошибка, от которой нужно избавляться.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины и ширины основания на высоту.
Объем и площадь
Объем и площадь – понятия во многом сходные, но есть и разница, которую стоит понимать. Площадь – это занимаемая часть плоскости. Если любую фигуру вырезать из бумаги, а затем приложить к плоскости, например к другому, более большому, листу, то фигура займет какую-то площадь.
Если фигуру обвести, а затем получившийся контур разбить на квадратики, то получится подсчитать площадь фигуры.
Объем показывает пространство, которое занимает объемная фигура.
Лучше всего объем прямоугольного параллелепипеда представляется так: если в пространстве поместить прямоугольник, провести перпендикулярно плоскости отрезок и плавно поднимать прямоугольник вверх, то результатом движения и станет объем этой фигуры.
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед.
Практически любую объемную фигуру можно представить в виде результата движения плоской фигуры. Например: конус это результат движения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а цилиндр результат вращения прямоугольника вокруг своей оси. Прямоугольный параллелепипед это результат вертикального движения прямоугольника-основания вверх
Рис. 2. Результаты вращения плоских фигур.
Двух и трехмерные фигуры
Как отличить двухмерную фигуру от трехмерной? Двухмерная фигура существует исключительно на плоскости. Трехмерная фигура всегда имеет в своем составе элементы плоских фигур: окружности, линии, прямоугольники и т.д.
Рис. 3. Двухмерные и трехмерные фигуры.
Если в составе фигуры можно разглядеть несколько плоских фигур, то фигура трехмерная, если же нет, и фигура состоит только из прямых, отрезков, точек и плоских углов, а саму фигуру можно изобразить на листе бумаги, то перед вами плоская фигура.
Что мы узнали?
Мы узнали, в чем разница двухмерных и трехмерных фигур. Решили, что объема прямоугольника не существует. Существует только площадь прямоугольника или объем прямоугольного параллелепипеда.
Предыдущая
МатематикаДеление двузначного числа на однозначное – примеры, алгоритм (3 класс, математика)
Следующая
МатематикаПериметр прямоугольника – формула нахождения
Объем прямоугольника – формула расчета
В этой статье мы поговорим о разности определений объема и площади, а так же о прямоугольнике и параллелепипеде. Разделим все понятия, обсудим, как найти площадь и как определить объем.
Определения
Часто в жизни люди совершают математические ошибки. Причем зачастую не в силу какого-то грубого незнания, а просто из-за громоздкости названий. Это не совсем верно, поскольку ведет к увеличению числа ошибок.
Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед.
Формулы объема прямоугольника не существует.
Фигура может быть:
- одномерной, то есть представлять собой точку или прямую
- двумерной, то есть быть составленной из точек или прямых в плоскости
- трехмерной, то есть воплощенной в пространстве. Трехмерные фигуры это то, что нас окружает. Арбуз идеальной формы – это пример шара, а пятирублевая монетка – круга; коробка здания представляет собой параллелепипед, колпаки волшебников из книг – конусы. Пространственная геометрия повсюду. Но если листовка с рекламой, это прямоугольник, то коробка – параллелепипед.
Рис. 2. Прямоугольник.
Разделение определений поможет избежать ошибок.
Двумерная фигура характеризуется периметром и площадью. Трехмерная имеет периметр, площадь поверхности и объем. Как понять, есть ли объем у фигуры? Достаточно представить себе, что засыпаешь в нее песок. Задержится ли он в фигуре?
В трехмерной: конусе, цилиндре, параллелепипеде – песок останется лежать, заполняя собой внутренне пространство (то есть объем). В двумерной песок просто насыплется сверху. Разделочную доску нельзя заполнить песком, так же как и нельзя найти объем прямоугольника.
Объем и площадь
Объем это пространственная характеристика. Она показывает, сколько место фигура занимает в пространстве или сколько нужно сыпучего материала или воды, чтобы заполнить фигуру изнутри.
Площадь это двумерная характеристика. Она показывает, к примеру, сколько места займет фигура на столе. Если нам нужно понять, сколько места занимает лист на столе, то считаем площадь, для того, что понять вместится ли учебник в ящик стола, нужно посчитать объем.
Из двумерных прямоугольников составляют трехмерную фигуру, которую называют прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед состоит из шести прямоугольников, которые называют гранями. Четыре боковых грани равны между собой, так же как равны между собой две оставшиеся грани-основания.
Чтобы найти площадь прямоугольника нужно перемножить между собой две стороны, выходящие из одной точки, то есть смежные. Для того, чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда нужно сложить площади всех его граней.
Удивительно, но понятие объема появилось еще в Древней Греции. Им оперировал Евклид, Аристотель и Архимед. Но определение было размытым и неточным. Древние ученые увлекались двумерным пространством. Точное определение объема было дано лишь в 19 веке учеными Пеано и Жорданом.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нужно так же перемножить между собой стороны, выходящие из одной точки. Но в пространстве их будет три: длина, ширина и высота.
Рис. 3. Трехмерная фигура.
Что мы узнали?
Мы разделили понятия фигур по пространственным характеристикам. Узнали как создается прямоугольный параллелепипед и разделили параллелепипед и прямоугольник, поговорили о расчете площади и объема. Привели примеры геометрических фигур из реальной жизни. Узнали, что объема прямоугольника не существует.
Предыдущая
МатематикаМногоугольник – правило, уравнение, определение (5 класс, математика)
Следующая
МатематикаОснование треугольника – уравнение
Формулы объема геометрических фигур.
Объем геометрической фигуры — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.
Объем куба
Объем куба равен кубу длины его грани.
Формула объема куба
где
V
— объем куба,
a
— длина грани куба.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы
где
V
— объем призмы,
So
— площадь основания призмы,
h
— высота призмы.
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Формула объема параллелепипеда
где
V
— объем параллелепипеда,
So
— площадь основания,
h
— длина высоты.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
где
V
— объем прямоугольного параллелепипеда,
a
— длина,
b
— ширина,
h
— высота.
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.
Формула объема пирамиды
где
V
— объем пирамиды,
So
— площадь основания пирамиды,
h
— длина высоты пирамиды.
Объем правильного тетраэдра
Формула объема правильного тетраэдра
где
V
— объем правильного тетраэдра,
a
— длина ребра правильного тетраэдра.
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
- Формулы объема цилиндра
- V =
π R
2
h
- V =
So h
где
V
— объем цилиндра,
So
— площадь основания цилиндра,
R
— радиус цилиндра,
h
— высота цилиндра,
π = 3.141592
.
Объем конуса
Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема конуса
где
V
— объем конуса,
So
— площадь основания конуса,
R
— радиус основания конуса,
h
— высота конуса,
π = 3.141592
.
Объем шара
Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.
Формула объема шара
где
V
— объем шара,
R
— радиус шара,
π = 3.141592
.
Добавить комментарий
Объем геометрических фигур — онлайн калькулятор
Данный калькулятор рассчитывает объем таких геометрических фигур как куб, призма, пирамида, усеченная пирамида, конус, цилиндр, сфера, эллипсоид и тороид.
Формула объема куба: V = h4,
где V -объем куба, Н — высота ребра
Формула объема прямоугольной призмы:V = H*W*L
Формула объема пирамиды:V = 1/3*Sb*H
Формула объема усеченной пирамиды:
Формула объема конуса:V = ⅓*ПR2
Формула объема цилиндра:V = H*ПR2
Формула объема сферы:V = 4/3*ПR3
Формула объема эллипсоиды:V =4/3*ПR*a*b*c
Формула объема тороида:V = 2П2R1R22
The field is not filled.
‘%1’ is not a valid e-mail address.
Please fill in this field.
The field must contain at least% 1 characters.
The value must not be longer than% 1 characters.
Field value does not coincide with the field ‘%1’
An invalid character. Valid characters:’%1′.
Expected number.
It is expected a positive number.
Expected integer.
It is expected a positive integer.
The value should be in the range of [%1 .. %2]
The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.
The field must be less than 1%.
The first character must be a letter of the Latin alphabet.
Su
Mo
Tu
We
Th
Fr
Sa
January
February
March
April
May
June
July
August
September
October
November
December
century
B.C.
%1 century
An error occurred while importing data on line% 1.
Value: ‘%2’.
Error:
%3
Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).
%3.%2.%1%4
%3.%2.%1%4 %6:%7
s.sh.
u.sh.
v.d.
z.d.
yes
no
Wrong file format. Only the following formats: %1
Please leave your phone number and / or email.
minutes
minutes
minute
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
minutes
hour
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
hours
days
day
day
day
day
days
days
days
days
days
days
days
month
month
month
month
months
months
months
months
months
months
months
year
of the year
of the year
of the year
years
years
years
years
years
years
years
ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutesу ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 minutes ago
%1 hour ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 hours ago
%1 days ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 day ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 days ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 month ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 months ago
%1 year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 of the year ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
%1 years ago
Как определить объем формы с помощью метода шайбы
- Образование
- Математика
- Исчисление
- Как найти объем формы с помощью метода шайбы
Геометрия расскажет, как вычислить объемы простых тел. Интеграция позволяет вычислять объемы бесконечного множества гораздо более сложных форм. Если у вас круглая форма с отверстием в центре, вы можете использовать метод шайбы, чтобы найти объем, разрезав эту форму на тонкие кусочки.В середине каждого среза есть отверстие, которое нужно вычесть. В этом нет ничего.
Вот и все.
Боковая стопка шайб — просто сложите объемы всех шайб.
Подумайте только: все силы развивающейся Вселенной и все перипетии вашей жизни привели вас к тому моменту, когда вы, наконец, можете рассчитать объем этого твердого тела — что-то для вашего дневника. Так какой объем?
Определите, где пересекаются две кривые.
Таким образом, рассматриваемое твердое тело охватывает интервал по оси x от 0 до 1.
Рисунок площади поперечного сечения шайбы.
На приведенном выше рисунке каждый срез имеет форму шайбы, поэтому его площадь равна площади всего круга за вычетом площади отверстия.
Площадь круга без отверстия
, где R — внешний радиус (большой радиус), а r — радиус отверстия (маленький радиус).
Умножьте эту площадь на толщину dx , чтобы получить объем типичной шайбы.
Суммируйте объемы шайб от 0 до 1 путем интегрирования.
Сосредоточьтесь на том простом факте, что площадь шайбы — это площадь всего диска,
минус площадь отверстия,
При интеграции вы получаете
Это то же, конечно, что и
, формула, приведенная в большинстве книг.Но если вы выучите это наизусть, вы можете это забыть. Вы с большей вероятностью вспомните, как решать эти задачи, если поймете простую идею большого круга минус маленький круг.
Формулы площади поверхности и формулы объема трехмерных фигур
Формулы площади поверхности и формулы объема снова и снова появляются в расчетах и домашних заданиях. Давление — это сила на площадь, а плотность — это масса на объем. Это всего лишь два простых типа вычислений, в которых используются эти формулы.Это краткий список распространенных геометрических фигур и формул их площади поверхности и формулы объема.
Формула площади поверхности сферы и формула объема сферы
Сфера — это сплошная фигура, каждая точка на поверхности которой находится на одинаковом расстоянии от центра сферы. Это расстояние представляет собой радиус r сферы.
Площадь поверхности = 4πr 2
Объем = 4 ⁄ 3 πr 3
Формула площади поверхности призмы и формула объема призмы
Призма представляет собой геометрическую форму, состоящую из стопку одинаковых базовых форм, уложенных друг на друга на глубину d.Эта призма представляет собой призму, образованную стопкой треугольников.
Площадь поверхности призмы = 2 × (Площадь базовой формы) + (Периметр базовой формы) × (d)
Объем призмы = (Площадь базовой формы) × d
To Найдите площадь и периметр базовой формы, ознакомьтесь с формулами площади и формулами периметра.
Формула площади поверхности коробки и формула объема коробки
Коробку можно представить как стопку прямоугольников длиной L и шириной W, уложенных друг на друга на глубину D.
Площадь поверхности коробки = сумма площадей каждой грани коробки, или
Площадь поверхности коробки = 2 (Д × Ш) + 2 (Д × Г) + 2 (Ш × Г)
Объем коробки = Д × Ш × Г
Формула площади поверхности куба и формула объема куба
Куб — это коробка особого случая, в которой все стороны имеют одинаковую длину.
Площадь поверхности куба = 6a 2
Объем куба = a 3
Формула площади поверхности цилиндра и формула объема цилиндра
Цилиндр — это призма, основная форма которой круг.
Площадь поверхности цилиндра = 2πr 2 + 2πrh
Объем цилиндра = πr 2 h
Формула площади поверхности квадратной пирамиды и формула объема пирамиды
Пирамида представляет собой твердую форму состоящий из основания многоугольника и треугольных граней, пересекающихся в общей точке над основанием. Квадратная пирамида — это пирамида, в которой базовый многоугольник представляет собой квадрат.
На рисунке выше сторона a имеет ту же длину, что и сторона b .Все лицевые треугольники представляют собой равнобедренные треугольники, которые пересекаются в точке х над основанием.
Для пирамид с одинаковыми гранями треугольников ( a = b = c )
Формула площади поверхности конуса и формула объема конуса
Конус представляет собой пирамиду с круглым основанием с радиус r и высота h. Длину стороны s можно найти с помощью теоремы Пифагора.
с 2 = r 2 + h 2
или
s = √ (r 2 + h 2 )
Площадь поверхности конуса = πr 2 + πrs
Объем конуса = 1 ⁄ 3 (πr 2 ч)
Связанные сообщения
Объем при вращении с использованием интеграции
Нахождение объема твердого оборота — это метод расчета объема
3D-объект, образованный повернутой областью 2D-пространства.Поиск объема очень похож на
поиск области, но с дополнительным компонентом поворота области вокруг
линия симметрии — обычно ось x или y.
(1) Вспомните, как найти площадь под кривой. Найдите площадь определенного
интегральный
Интегрировать по [0,3]:
Теперь давайте повернем эту область на 360 градусов вокруг оси x.У нас будет 3D твердое тело
это выглядит так:
Чтобы найти этот объем, мы могли бы сделать вертикальные срезы твердого тела (каждый dx шириной и
f (x) высотой) и сложите их.
Это довольно утомительно, но, к счастью, у нас есть расчет! Поскольку интегрированная зона
вращается вокруг оси под кривой, мы можем использовать интеграцию диска
найти объем.Поскольку область вращается на полный круг, мы можем использовать формулу
для площади цилиндра, чтобы найти наш объем.
Объем цилиндра
Мы можем объединить формулу для объема цилиндра и наш определенный интеграл, чтобы найти
объем нашего твердого тела. Радиус нашего цилиндра будет функцией f (x)
а высота нашего цилиндра будет расстоянием до каждого диска: dx
Объем каждого среза будет
Если сложить объемы дисков с бесконечно малым dx, получится формула
Используя нашу функцию, мы получили бы это подынтегральное выражение для объема
Вычисляя интеграл, получаем
В качестве нашего объема мы получили 4Π единиц 3 .Поскольку наша функция линейна
а радиус изменяется с постоянной скоростью, это легко проверить, вставив
в значениях к формуле для объема конуса.
Ответы те же.Поскольку наша функция была линейной и имела форму конуса, когда
вращаясь вокруг оси x, можно было использовать формулу объема для конуса. Многие
из объемов, с которыми мы будем работать, не имеют формы конуса, поэтому мы не можем просто
подставьте значения в формулу. Хотя алгебра может позаботиться о красивой прямой
линий, исчисление заботится о не очень хороших кривых.
Примеры объема с вращением
(2) Теперь попробуем повернуть ту же область вокруг оси y.
Первое повернутое твердое тело было проинтегрировано по x, чтобы найти площадь, и повернуто вокруг
ось x . Точно так же это твердое тело также интегрируется через x для
область, но теперь она повернута вокруг оси y . Обратите внимание, что это твердое тело может
получается вычитанием конуса радиуса 3 при y = 2 из цилиндра, образованного
от радиуса 3 и высоты 2.
Объем
Цилиндра — Объем конуса
= площадь вращения вокруг оси y.
Найти этот том можно тремя способами. Мы можем сделать это с помощью (a) , используя объем
формулы для конуса и цилиндра, (b) , объединяющие два разных твердых тела
и взяв разницу, или (c) с использованием интеграции оболочки (вращение
область вокруг оси, отличной от оси, которой касается область).Попробуем все три
методы.
(a) Используя формулы объема, мы имели бы
Радиус цилиндра и конуса будет равен 3, а высота — 2.
Объем 12Π штук 3 .Проверим с интеграцией.
(b) При интегрировании находим площадь от кривой до оси. С тех пор, как мы
вращаются вокруг оси y, нам нужно интегрировать по y. Для
Цилиндр, наша область до поворота будет выглядеть так:
Функция y равна f (y) = 3 из [0,2].Теперь мы можем настроить наш интеграл.
Теперь о конусе. Поскольку он вращается вокруг оси y, нам нужно интегрировать
исходная функция по y. Все, что нам нужно сделать, это решить наш исходный
функция для x вместо y, что делает ее функцией y. Функция y будет
выглядят так:
Функция y: f (y) = ( 3 ⁄ 2 ) y из [0,2].Настроим наш интеграл.
Теперь вычтем объем конуса из объема цилиндра. Мы получаем
тот же ответ.
Наконец, выполним интеграцию оболочки.
(c) Обратите внимание, что при интеграции диска область была повернута вокруг той же оси
что эта область была интегрирована.Другими словами, ось, которой коснулась область, была
ось вращения. В интеграции с оболочкой все наоборот. Обратите внимание, что область
касается оси x , а твердое тело вращается вокруг оси y .
Формула интегрирования оболочки определяется как:
где x — это расстояние до оси y или радиус, а f (x) теперь высота
оболочки.
Простая замена f (x) даст нам
Кажется, что просто использовать формулы объема было лучшим методом, но давайте сделаем
несколько разных примеров, когда это не так.
(3) Найдите объем следующей функции, повернутой вокруг оси x из
[0,2Π]
Повернутая область будет выглядеть так:
Если вы не знаете формулу для определения объема вазы, мы должны использовать интеграцию
найти этот том.Мы не можем использовать формулу для любого простого трехмерного
геометрические фигуры как в первых двух примерах. Вращая это твердое тело вокруг x
оси, мы должны сделать то же самое, что и в примере (1), и установить интеграл, используя формулу
для объема цилиндра. Радиус цилиндра — это кривая, поэтому мы бы
вставьте f (x) для радиуса, и тогда высота будет dx, которая составляет от 0 до
2Π.
Объем цилиндра
Общий объем твердого 9Π 2 шт. 3 .
Что, если бы мы хотели найти объем области, повернутой вокруг оси x
та же функция, но с небольшим пространством посередине? Такой тип фигуры называется
стиральная машина или пончик. Они похожи на диски, потому что они круглые, но есть
пространство посередине.
Рассмотрим ту же функцию с f (x) = 1.
При повороте он будет похож на наш предыдущий поворот, но с цилиндром.
удален посередине.
Чтобы найти объем, мы просто берем разницу нашей исходной площади и площади
площади в центре.
(4) Также было бы полезно поговорить о твердом теле, которое не вращается.
на полные 360 градусов.Подумайте о части круга, который был заштрихован.
Этот круг закрашен на 240 градусов из 360. Как мы находим площадь? Мы
просто возьмите долю от общей площади, в данном случае 240 ⁄ 360 , или две трети.
Так обстоит дело с объемом.Если у нас есть повернутая часть площади, мы находим
Вывести объем твердого тела из общего объема, если его повернуть на 360 градусов.
Это твердое тело также повернуто на 240 градусов вокруг оси x. Какой бы объем
быть?
Это объем для повернутой части графика на интервале [a, b].
В предыдущих примерах мы вращали области вокруг оси x или y. Что, если бы мы повернулись
их около произвольной оси?
При вращении вокруг оси g (x) мы должны учитывать изменение радиуса.
Формулы для интеграции диска и оболочки будут следующими:
Формула для молярного объема
| Как рассчитать молярный объем вещества и решенные примеры
×
Извините !, эта страница сейчас недоступна для добавления в закладки.
Как рассчитать молярный объем вещества и примеры решения
Проще говоря, молярный объем — это объем, занимаемый одним молью любого вещества при данной температуре и давлении.Обычно он применяется только к газам, где идентичность газа не влияет на объем. Наиболее распространенный пример для иллюстрации — молярный объем газа при стандартной температуре и давлении, равный 22,4 л на 1 моль любого идеального газа при температуре, равной 273,15 К, и давлении, равном 1,00 атм.
СМОТРЕТЬ БОЛЬШЕ
Чтобы рассчитать молярный объем вещества, мы можем разделить молярную массу на его плотность.Математически выразив это как:
Vm = Mρ
Где, V — объем газа
n — количество молей газа, P — давление, T — температура
R — газовая постоянная (значение зависит от единиц давления, объема и температуры)
Газовая постоянная R составляет 8,314 Дж / моль. K
Пример: Образец чистого газообразного гелия занимает объем 6,8 л при 0 ° C и 100 кПа. Сколько молей газообразного гелия присутствует в образце?
Опции:
(а) 0.30 моль
(б) 0,15 моль
(в) 0,45 моль
(г) 0,60 моль
Ответ: (а)
Раствор:
V (He (г)) = объем газообразного гелия = 6,8 L
условия: STP (стандартные температура и давление, 0 ° C и 100 кПа)
Итак, Vm = молярный объем газа = 22,71 л моль-1
Пример: Какой объем занимает 3,70 моль газа N2 на СТП?
Опции:
(а) 84,0 л
(б) 50.0 л
(в) 72,5 л
(г) 22,4 л
Ответ: (а)
Решение: V (N2 (г)) = n (N2 (г)) × 22,71 (при STP)
= 3,70 × 22,71
= 84,0 л
Объем цилиндра — Веб-формулы
Объем цилиндра:
В геометрии цилиндр представляет собой трехмерную форму с круглым основанием, круглой вершиной и прямыми сторонами.Это сплошная фигура, которую вы получаете, когда вращаете прямоугольник вокруг одной из его сторон. В большинстве случаев, когда мы говорим об объеме цилиндра, мы говорим о том, сколько жидкости он может вместить.
Строго правильный способ сказать, что это «
объем , окруженный цилиндром » — количество жидкости, которое он удерживает. Но во многих учебниках просто сказано, что « объем цилиндра » означает одно и то же.
Помните, что радиус и высота должны быть в одних и тех же единицах — при необходимости преобразуйте их.
Полученный объем
будет в этих кубических единицах. Таким образом, если высота и радиус указаны в сантиметрах, тогда объем будет в кубических сантиметрах.
Объем
цилиндра определяется путем умножения площади его вершины или основания на его высоту и определяется как: V = π · r 2 · h
Пример 1: Цилиндрический резервуар для хранения воды имеет внутренний радиус основания 7 м и глубину 11 м.Найдите вместимость бака в килолитрах (1кл = 1м 3 ).
Решение :
Радиус основания: r = 7 м
Высота: h = 11 м
Резервуар для воды имеет форму цилиндра. Итак, используя формулу объема цилиндра, мы можем найти его объем.
V = π · r 2 · ч
V = π · 7 2 · 11
V = 1692,46 м 3 = 1692,46 kl
Пример 2 : Найдите объем цилиндра с радиусом основания 6 см и высотой 4 см.
Решение :
Радиус основания: r = 6 см
Высота: h = 4 см
V = π · r 2 · h
V = 3,14 · 6 2 · 4
V = 452,16 см 3
Пример 3: Если емкость цилиндрического резервуара составляет 1848 м 3 и диаметр его основания 14 м, найдите глубину бак.
Решение :
Пусть глубина резервуара будет h метров.Тогда имеем:
V = π · r 2 · h
h = V / π · r 2
h = 12 м
Пример 4: Конический сосуд, внутренний радиус которого и высота 20см и 50см соответственно, наполнена жидкостью. Найдите высоту жидкости, если она помещена в цилиндр с радиусом основания 10 см.
Решение :
Объем сосуда:
V = π ∙ r 2 ∙ h / 3
V = π · 20 2 · 50/3
V = 20944 см 3
объем жидкости одинаков, независимо от того, находится она в сосуде или в цилиндре, поэтому мы имеем:
V1 = V2 , где V1 — объем сосуда, а V2 — объем, определенный с использованием формула для цилиндра.
20944 = π · 10 2 · h
Таким образом:
h = 20944 / ( π · 10 2 )
h = 66,67 см
Пример 5: Найдите объем прямоугольного кругового цилиндра, площадь криволинейной поверхности которого равна 2640 см. 2
А длина окружности его основания равна 66 см.
Решение :
Для начала нам нужно определить радиус основания, используя формулу кругового периметра (окружности).
P = 2 · π · r
r = P / (2 · π) = 66 / (2 · π) = 10,50 см
Теперь мы найдем высоту цилиндра, используя формулу для площади поверхности цилиндра.
SA = P · h
h = SA / P = 2640/66 = 40 см
Таким образом, объем цилиндра составляет:
V = π · r 2 · h
V = π · 10,50 2 · 40
V = 13854,4 см 3
Онлайн-калькулятор объема, щелкните ссылку, чтобы открыть новое окно.
Определение объема — Метод вытеснения воды | Глава 3: Плотность
Ключевые понятия
- Затопленный объект вытесняет объем жидкости, равный объему объекта.
- Один миллилитр (1 мл) воды имеет объем 1 кубический сантиметр (1 см 3 ).
- У разных атомов разные размеры и массы.
- Атомы в периодической таблице расположены в порядке, соответствующем количеству протонов в ядре.
- Даже если атом меньше другого атома, он может иметь большую массу.
- Масса атомов, их размер и расположение определяют плотность вещества.
- Плотность равна массе объекта, деленной на его объем; D = м / об.
- Объекты одинаковой массы, но разного объема имеют разную плотность.
Сводка
Студенты используют метод вытеснения воды, чтобы найти объем различных стержней, имеющих одинаковую массу.Они вычисляют плотность каждого стержня и используют характеристическую плотность каждого материала для идентификации всех пяти стержней. Затем студенты рассматривают взаимосвязь между массой, размером и расположением атомов, чтобы объяснить, почему разные стержни имеют разную плотность. Студенты будут кратко ознакомлены с периодической таблицей.
Цель
Студенты смогут объяснить, что материалы имеют характерную плотность из-за разной массы, размера и расположения их атомов.Студенты смогут использовать метод объемного смещения, чтобы найти объем объекта.
Оценка
Загрузите лист задания для учащихся и раздайте по одному каждому учащемуся, если это указано в задании. Лист упражнений будет служить компонентом «Оценить» каждого плана урока 5-E.
Безопасность
Убедитесь, что вы и ваши ученики носите правильно подогнанные очки.
материалов для каждой группы
- Набор из 5 различных стержней одинаковой массы
- Градуированный цилиндр, 100 мл
- Вода в стакане
- Калькулятор
Примечания о материалах:
Для этого урока вам понадобится набор из пяти твердых стержней, каждая из которых имеет одинаковую массу, одинаковый диаметр, но разный объем.Каждый стержень изготовлен из разного материала. Есть несколько версий этих стержней от разных поставщиков. В этом упражнении используется комплект Equal Mass Kit от Flinn Scientific (Product # AP4636), но его можно адаптировать к любому набору стержней равной массы. Поскольку в наборе Equal Mass всего пять образцов, вам может потребоваться два набора, чтобы каждая группа могла работать с образцом.
Эта таблица поможет вам идентифицировать каждый стержень. Не раскрывайте эту информацию студентам. Позже в этом уроке они обнаружат идентичность каждого стержня и обратную зависимость между плотностью и длиной каждого стержня.
| Образец | Материал | Приблизительная плотность (г / см 3 ) | Относительная длина |
|---|---|---|---|
| Наименьший металл | Латунь | 7,5 | самый короткий |
| Блестящий серый металл | Алюминий | 3. |