Ромб укладка плитки: Укладка тротуарных плиток Ромб и Брусчатка

Укладка тротуарной плитки ромб: способы, методы мощения

В очистке нуждаются как внутренние, так и наружные элементы напольного и настенного оборудования. Специалисты советуют проводить их проверку не реже, чем раз в год и при необходимости очищать.

Почистить газовый котел в домашних условиях можно разными методами, выбор которых зависит от знаний пользователя, возможностей применения того или иного способа и технических характеристик оборудования. Прежде чем приступать к работе, нужно перекрыть газ и отключить датчики, ведущие к теплообменнику.

Укладка тротуарной плитки своими руками

Чистка выполняется вручную с помощью подручных приспособлений. Для ее выполнениятеплообменник снимается, чтобы был доступ к загрязненным поверхностям. Для механического удаления налета потребуется скребок, щетка и пылесос. Очищение должно быть аккуратным, чтобы не повредить детали котла. С помощью металлической щетки загрязненные элементы освобождаются от гари, накипи и сажи. Чтобы вычистить труднодоступные места можно воспользоваться пылесосом. После окончания работы, теплообменник монтируется обратно и проверяется герметичность всех соединений.

Газовые котлы нашли широкое применение для работы в составе автономных систем отопления. Простота эксплуатации, дешевизна «голубого» топлива – все это способствует их популярности у собственников жилья, особенно в частном секторе. В то же время работа с этими агрегатами требует особой осторожности. Соответственно, и помещения, в которых они располагаются, также должны соответствовать определенным стандартам и отвечать необходимым  требованиям.

Мало кто из собственников жилых строений задумывался над вопросом, как правильно называется та «комната», в которой будет установлен газовый котел (о его выборе читайте тут). А от названия и зависит порядок ее обустройства и условия, которые необходимо будет при этом выполнить.

Часто можно услышать – «домашняя котельная». Правильно ли это? Прежде чем определиться с требованиями, которые предъявляются к этому помещению, следует разобраться с терминологией. Ведь полноценную топочную обустроить гораздо проще, чем котельную. Например, меньше проблем с монтажом электрооборудования.

Еще раз отметим, что разговор идет именно о газовых напольных котлах.

Дата публикации: 10-05-2015

Существуют разные способы укладки тротуарной плитки . Независимо от выбранного метода, можно получить неповторимый эффект. Тротуарная плитка ромб в разных комбинациях может эффектно подчеркнуть пространство на вымощенных площадках. Даже в одном формате возможно несколько вариантов укладки, что позволяет добиться желаемого объемного эффекта. А если использовать несколько цветов, то возможно создать узоры из звезд и кубиков.

При расчете необходимого количества материала нужно обязательно принять во внимание, что определенная часть брусчатки станет боем, то есть отходным материалом.

Тротуарная плитка ромб, благодаря своей форме, дает возможность экспериментировать и показывать потрясающий оптический результат.

Эффект достигается различными комбинациями плитки или изменением различных оттенков цвета. Методы укладки тротуарной плитки ромб происходят в несколько этапов.

Расчет необходимого количества материала и подготовка инструмента

Прежде всего необходимо определить размеры площади, на которую будет укладываться тротуарная плитка. При расчете необходимого количества материала нужно обязательно принять во внимание, что определенная часть брусчатки станет боем, то есть отходным материалом. Размер расходных материалов и отходов зависит от размеров и формы благоустраиваемой территории, а также зависит от выбранного способа укладки тротуарной плитки . Тщательно подготовленное основание является основным критерием для качественного мощения любого типа брусчатки. В большинстве случаев основанием служит песчаное или щебеночное покрытие.

Тщательно подготовленное основание является основным критерием для качественного мощения брусчатки.

Для укладки плитки нам понадобятся следующие инструменты:

лопата;
киянка;
ручная трамбовка или вибротрамбовочная машина;
болгарка;
мастерок;
отрезные круги по камню;
леска;
строительный уровень.

Подготовка основания для укладки тротуарной плитки ромб

Для начала площадь тщательно планируется и размечается. Затем отмечаются уровни и выделяются уклоны для стока воды. Вода должна уходить от отмостки здания в водоотводные колодцы или же на газоны. Это необходимо для того, чтобы не подтопить фундамент. Уклон должен быть не менее 5 мм на м. Он может быть как поперечным, так и продольным. Чтобы основание получилось качественным, необходимо, как показывает практика, снять верхний слой земли, минимум на штык, но здесь многое зависит от ландшафта.

Затем, в зависимости от будущих нагрузок, подготавливаемое основание засыпается щебнем от 10 до 20 см, тщательно выравнивается и уплотняется, после чего засыпается песком или отсевом на 4-6 см. Затем все еще раз выравнивается и уплотняется. Для этих целей лучше использовать вибротрамбовочную машину. Делается это для того, чтобы вода уходила в грунт, в сторону уклона, а не скапливалась на поверхности плитки. Гравий не позволит воде подниматься наверх, а при правильной укладке на плитке не будут образовываться лужи. Специальные контрольные рейки используются для выравнивания основания.

Укладка тротуарной плитки ромб

Непосредственно перед мощением, на основание, укладывается смесь из цемента с песком толщиной 4-6 см (в соотношении 1:6). Затем укладывается плитка на утрамбованную «подушку». Брусчатка должна плотно примыкать друг к другу, а зазоры не должны превышать 3-5 мм. При помощи строительного уровня нужно контролировать укладку каждой плитки и, в случае необходимости, осаживать отдельные кирпичики.

Как было сказано выше, тротуарную плитку ромб можно уложить в разных цветовых сочетаниях и разных геометрических комбинациях. Тут все зависит от вашей фантазии. Можно выложить узоры, можно звезды, цветы или любую комбинацию, которая будет радовать глаз.

После окончания укладки обязательно нужно заполнить зазоры между плитками. Для заполнения зазоров используется исключительно песчано-цементная смесь или речной песок. Чтобы поверхность вымощенной площадки стала идеально ровной, ее обрабатывают виброплитой с резиновой накладкой. Затем убирается лишний песок и вся вымощенная площадь обильно поливается водой. После просыхания площадка готова к эксплуатации.

11

Благодарим за отзыв

Блог — Плитка ромб: варианты укладки

В поисках оригинальной плитки стоит заранее подумать о её монтаже. Если вам важно, чтобы работа плиточника была дешевле, а риск ошибок в укладке был сведён к минимуму, но не хочется останавливаться на привычных решениях — присмотритесь к ромбу. В укладке плитка-ромб простая, как квадрат. А в общем паттерне можно добиться самых разных эффектов, в зависимости от рисунка, укладки и коллекции. Посмотрим на ромбы в действии.

Акцент на рисунок

Что-то необычное творится с этой поверхностью. На первый взгляд. На второй становится понятно: это ромбы и инверсивная палитра. Там, где сейчас зелёный, в соседнем ряду белый, и наоборот. Ромбы как формат создают новую динамику, когда глаз уже привык к клетке из квадратов 10х10. Отсюда и ощущение новизны.

Цементная плитка Popham design, коллекция TOUBKAL

 
Цементная плитка Popham design, коллекция TOUBKAL

Пример того, как простая раскраска и простая форма в сочетании не так-то и просты. С первого взгляда и не скажешь точно: квадрат, гексагон, треугольник или ромб?

 
Цементная плитка Popham design, коллекция HALF KARAT

Оригами

Правила просты: три ромба складываются в ровный гексагон,  шесть ромбов в вытянутый шестиугольник. Если использовать ромбы трёх цветов и многократно повторять узор, получится кубический паттерн. Это самая популярная раскладка ромбов.

 

 Керамическая плитка Normandy Ceramics

Идём дальше: берём объёмные ромбы, зеркалим кубы относительно друг друга, Получаем то ли звёзды, то ли кубы — геометрический калейдоскоп, в создании которого межплиточные швы не менее важны, чем сама плитка и рисунок раскладки.

 

 Керамическая плитка Normandy Ceramics

Сочетаем ромб с другими фигурами: шестиугольником, трапецией. Если в раскладке будут закономерные повторения — хорошо, если хаотичный разбег — да здравствует творческая натура.

 
Керамическая плитка Normandy Ceramics

Керамическая плитка Normandy Ceramics

Керамическая плитка Etruria Design, коллекция HEX COLLECTION

Керамическая плитка Etruria Design, коллекция HEX COLLECTION

Керамическая плитка Etruria Design, коллекция HEX COLLECTION

Каретная стяжка

Интересно смотрится и такой приём, визуально превращающий керамическую плитку в мягкую обивку. В этом решении участвуют специальные маленькие ставки, имитирующие пуговицы. Ромбы могут быть объёмные или плоские, а чередование тех и других создаст между ними контраст, подчеркнув особенность каждого вида ромба.

 
Керамическая плитка Adex, коллекция Rombos

50+ вариантов укладки керамической плитки, которые вам понравятся — INMYROOM

Вам предстоит долгожданный ремонт в квартире, а в качестве отделки вы используете керамическую плитку? Первым делом нужно найти подходящий дизайн и определиться с узором. Мы подготовили подробный гид по вариантам укладки – вам осталось только выбрать.

1. Укладка прямоугольной и квадратной плитки

Самая популярная форма плитки – квадрат или прямоугольник. Используя даже один тип элементов, у вас получится интересный и стильный узор. А комбинированная укладка точно не останется незамеченной. 

Традиционная кладка будет иметь необычный и оригинальный вид, если использовать плитку разных цветов.  Такой рисунок освежает интерьер и хорошо смотрится на стенах и на полу.

Хотите больше динамики? Используйте в укладке до 3-х цветов – они могут быть и контрастными. Экспериментируйте с расположением: те же элементы, выложенные в различном порядке, дадут совершенно другой рисунок.

2. Укладка керамической плитки Metro («кабанчик»)

Эта плитка-кирпичик не теряет популярности уже который год – можно уже назвать ее классикой. Если выложить элементы горизонтально или по диагонали, можно сделать помещение, например, ванную шире. Высоты же добавят вертикальные полосы.

3. Укладка фигурной керамической плитки

Трапеция и ромб – еще одни популярные формы керамической плитки. Стена, выложенная такими элементами, точно не останется незамеченной. Вариантов раскладки множество: от сот до сложных геометрических узоров. 

Если однотонная плитка навевает скуку, использование нескольких разных оттенков – ваш выбор. Это могут быть как контрастные цвета, так и близкие друг к другу тона: первые добавят интерьеру динамики, а вторые – глубины.

С использованием элементов 3-х разных оттенков укладка плитки превращается в приключение. Зато вы можете превратить обычную стену в крутую 3D-панель. Следите только, чтобы все детали имели одинаковую фактуру. 

На обложке: проект Евгении Матвеенко, архитектурное бюро FlatsDesign.

Варианты и виды укладки тротуарной плитки

Варианты и виды укладки тротуарной плитки существуют разные. Все зависит от вашего желания и финансовых возможностей. Укладка тротуарной плитки ромбом один из интересных способов создающих оптический эффект, пространство и визуальную глубину на вымощенной площади.

Разнообразные эффекты

Большой выбор из разнообразных правильных геометрических узоров позволяет создать неповторимый дизайн спроектированной поверхности. Укладку ромбом лучше всего делать на небольших участках с ограниченной площадью.

Особый эффект создается даже когда вы используете плитку только двух видов. В таком случае можно сделать красивые узоры из кубиков и звезд. Объем создается, применяя разнообразные оттенки одного цвета, например, светло-коричневый, средне-коричневый, темно-коричневый.

Разные формы

Квадрат имеет строгую форму и акцентирует внимание на симметрии. Замечательно подойдет для мощения самых разных площадок, а если умело сочетать с клумбами, у вас получится красивейшая строительная система дополняющая друг друга.

«Клевер, Гвоздика» используется, когда нужно подчеркнуть элегантность оптического вида архитектуры. Классический орнамент сделает более привлекательными не только скромные дворики и площадки, а также просторные площади возле государственных учреждений.

Прямоугольная плитка с комбинацией разных оттенков ее оттенков способна создать объемный эффект. Такую плитку можно устанавливать и на маленьких, и на больших пространствах.

Рассмотрим самые популярные и красивые варианты укладки плитки ромбом (на рисунке с лева на право):

Вариант №1

Используя тротуарную плитку 3 цветов можно создать рисунок в виде шестиугольных звездочек и продолжать его по горизонтали и по вертикали.

Вариант №2

Укладка тротуарной плитки в виде снежинки. Для этого берется плитка 3 разных расцветок. Этот рисунок тоже продолжают по горизонтали и вертикали. Он будет хорошо смотреться в вымощенной дорожке в 1,5 метра шириной.

Вариант №3

Данный вариант предполагает использование плитки двух цветов, что сделает ниже конечную стоимость вымощенной дорожки или площадки. Рисунок предполагает 2 символа: шестигранную звезду и символ похожий на значок автомобильной компании «Мitsubishi».

Вариант №4

Одним из самых легких способов укладки плитки является укладка «стрелочками». Здесь также применяется плитка всего двух цветов, добавив третий цвет, вы преобразите рисунок.

Вариант №5

Укладка тротуарной плитки в виде шестигранной звезды. Здесь можно использовать и два, и три цвета. Рисунок повторяется по вертикали и прекрасно подойдет для любой дорожки.

Вариант №6

Оригинальный рисунок, который подходит для дорожки. При этом вы можете добавить третий цвет и выложить им поперечные плитки, что без сомнений сделает рисунок более богатым.

Тротуарная плитка Ромб | Плитка Ковка

Тротуарная плитка Ромб

Заказать тротуарную плитку Ромб

Цена производителя.
Калужская область и г. Калуга.

Заказать укладку тротуарной плитки Ромб. Калужская обл. Жуковский район

Тротуарная плитка Ромб

Тротуарная плитка Ромб Жуковский район

Используя разные формы и цвета плитки Ромб можно получать очень интересные схемы и украсить площадки и дорожки. Примеры такой укладки смотрите ниже.

Тротуарную плитку Ромб мы сами производим. Вы можете заказывать у нас любое количество плитки вместе с укладкой участка. К качеству нашей продукции относимся очень ответственно. С этим продуктом мы сами работаем постоянно и даём гарантии качества за всю выполненную работу.

Заказать плитку Ромб в любом количестве у производителя в Московских и Калужских  областях.
Для посетителей сайта выезд и замер участка, а также  погрузка заказа — бесплатно!
Заказывайте укладку тротуарной плитки Ромб.
Заказывая укладку плитки вместе с товаром и получайте  дополнительные скидки. 

Для получения подробной информации Вам стоит лишь сделать один звонок нам: Контакты.

Дополнительная информация о тротуарной плитке Ромб

Заказать тротуарную плитку Ромб

Часто тротуарную плитку Ромб используют для создания трёхмерных рисунков. Такую возможность дают формы плитки и возможный выбор цветов. Такие схемы очень красиво смотрятся, но и стоят дороже.

Для плитки Ромба стандартным считаются размеры 24 см на 14 см. Для участков, где не требуется особая выносливость покрытия, толщина плитки до 6 см вполне хватит. В местах, где особо оживлённая проходимость, выбирайте плитку с толщиной до 12 см. Заказать можно толщину и побольше, но мы не советуем эту плитку для участков производственного назначения.

Плитка прочная, стойкая к перепадам температуры, не скользит за счёт шершавой поверхности, установка не сложная и дальнейшее обслуживание тоже, нагревается намного меньше асфальта, не плавится под солнцем.

Ромб производится путём  вибролитя. Это способ позволяет получить качественный продукт, но не производит большое количество за короткое время. Поэтому разумнее заранее заказать у нас плитку, чтобы мы успевали по срокам заказа.

Плюсы этой плитки:

• твёрдая и плотная;
• влагу не пропускает, устойчивее других к морозам;
• прочная за счёт сравнительно небольшого размера и достаточной толщины (стандарт до 6 см ).;
•  шероховатая поверхность не даёт скользить по ней;
• цвета заказываете на ваш выбор, это  позволяет создавать 3-D (трехмерный) эффект поверхности;
• проще делать и монтаж и демонтаж, что является ещё одним преимуществом по сравнению с тем же асфальтом.
• промывается водой без проблем.

Вариантов укладки плитки Ромб слишком много. Выбор узора за покупателем. На страницах сайта рассказать про все варианты не возможно. Проще и понятнее будет сделать это при личном контакте с заказчиком. Если хотите создавать необычное покрытие вокруг своего дома или магазина, то эта плитка лучший выбор. Дайте волю своей фантазии и заказывайте любые сложные формы.

Плитка Ковка Калуга
Тротуарная плитка от производителя Калуга

ромбовидных мозаик и рекуррентность с чрезмерными ограничениями

Недавно я посетил Робина Пемантла и его студента Питера Дю в UPenn. Мы говорили о мозаиках плоских областей, производящих функциях и асимптотике. Ближе к концу мы немного поговорили об очень классическом примере, о котором я хочу вам сегодня рассказать.

В большинстве задач с плоскими мозаиками целью является асимптотический анализ мозаик больших областей, потому что не хватает структуры, чтобы работать лучше.Это подход, использованный в прекрасной работе Кеньона, Окунькова и их сотрудников. ^{1, 2, 3} Иногда достаточно структуры, чтобы дать точные решения с явными производящими функциями. Так обстоит дело с ацтекскими алмазами, крепостями и другими примерами. ^4,5 Главное имя здесь — Джим Пропп 6, 7, разработавший эту теорию вместе со многими студентами и аспирантами (включая меня).

И еще один случай: замощения шестиугольника ромбами.У них почти слишком много структуры; больше структур, чем можно было бы ожидать. В этом посте я хочу рассказать об этом примере. В частности, я хочу задать вам вопрос, над которым я немного подумал на обратном пути на поезде, и посмотреть, есть ли у кого-нибудь из вас какие-нибудь мысли.

КРАТКИЙ ОБЗОР РОМБОВ

Замостить плоскость равносторонними треугольниками и вырезать шестиугольную область, в которой противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину.Обозначим длины сторон , , , , и . Этот шестиугольник содержит одинаковое количество направленных вверх и вниз треугольников, поэтому мы можем надеяться замостить его единичными ромбами, каждый из которых покрывает два соседних треугольника. Запишем количество таких паросочетаний.

Шестиугольник с (r,s,t)=(3,2,4)

Если , то шестиугольник вырождается в параллелограмм, и существует только одна мозаика. Если , то горизонтальное ребро имеет длину . В этом случае два типа горизонтальных ромбов образуют путь от нижней части шестиугольника к вершине (окрашенной синим цветом).Легко видеть, что для каждого возможного пути существует одно соответствие, поэтому .

Один из 6!/3!3! мозаики этого шестиугольника

Если , то это превращается в задачу подсчета непересекающихся пар путей; по счастливому стечению обстоятельств эта тема недавно обсуждалась на Math Overflow. В более общем случае вам нужно посчитать -кортежи непересекающихся путей, и вы закончите вычисление определителей. Я пропущу их и сразу перейду к замечательной формуле Мак-Магона.

Конечно, здесь много сокращений, так что это можно переписать по-разному.

Можно также указать билинейную рекуррентность для , к которой мы будем возвращаться в этом посте.

           .

Начиная с начального условия , мы можем рекурсивно использовать для вычисления для всех , затем и , затем и так далее.

Думаю, Эрик Куо первым понял, что это имеет прямое комбинаторное значение.

Интерпретация Куо (**)

Каждый член этого «уравнения» включает в себя два шестиугольника и несколько дополнительных ромбов.Смысл в том, чтобы взять все мозаики красного шестиугольника и все мозаики синего шестиугольника и наложить их всеми возможными способами вместе с лишним черным ромбом. Тогда каждая суперпозиция ромбов появляется с одинаковой кратностью слева и справа.

Почему это важно? Предположим, вы хотите узнать математическое ожидание некоторой статистики для случайной плитки — например, вероятность того, что конкретная плитка будет использована. Тогда вы можете просто принять ожидания обеих сторон отношений Куо.Конечно, для этого вам нужно знать относительные размеры двух правых членов. Это легко сделать, используя явную формулу: суперпозиции происходят от первого слагаемого, а остальные — от второго.

Это дает вам линейную рекуррентность, достаточно хорошую производящую функцию и, мы надеемся, цель, к которой мы можем применить механизм Робина. Но я не об этом хочу говорить, потому что Питер и Робин уже думают об этом. Вместо этого я хочу объяснить, что я имел в виду, когда сказал, что в этом примере больше структуры, чем вы думаете.

РАЗМЫШЛЕНИЯ О ВОЗВРАЩЕНИИ

В большинстве задач с тайлами вы вообще не можете найти простое повторение. В прекрасных примерах, о которых я говорил ранее, таких как ацтекские бриллианты, большинство вышеизложенных идей работают: вы можете интерпретировать сопоставления как непересекающиеся пути, получить определитель, получить некую формулу произведения и получить повторение. Трудно рекомендовать только одну статью на эту тему, но мне нравится изложение Грега Куперберга. (См. Раздел 7 для случая, рассматриваемого здесь.)

Но в нашем случае переопределяет количество тайлингов! Точнее, вся ситуация симметрична относительно , ​​и . Итак, как и , имеем варианты, полученные перестановкой координат. Если ограничить , и лежать между и , это дает переменные , подчиненные отношениям. Если бы вам вручили этот набор квадратных уравнений, не сказав, откуда он взялся, вы бы ожидали, что решений не будет! Точно так же, применяя трюк, описанный выше, мы получаем больше линейных уравнений для вероятности использования данной плитки, чем переменных.

Для удобства напишу варианты, полученные перестановкой переменных:

Итак, вот мой вопрос: каковы другие решения этой троицы повторений?

Я заметил несколько простых вещей. Вы можете изменить масштаб для любого . Вы можете перевести любое решение
через три пробела, чтобы получить другое решение. Также я нашел еще одно своеобразное решение: .

В настоящее время я понятия не имею, сколько у меня свободы в выборе решения.Вот способ уточнить этот вопрос: пусть будет набор ненулевых* решений этих уравнений, ограниченный диапазоном . Как размерность растет с ?

Итак, есть идеи?

* Я рассматриваю ненулевые решения по техническим причинам: множество всех решений приведенных выше уравнений имеет много тривиальных компонентов, где мы принимаем достаточное количество переменных равными нулю, чтобы сделать все отношения тривиально истинными. Ограничившись ненулевыми решениями, я уверен, что мы изучаем главный компонент.

Нравится:

Нравится Загрузка…

Родственные

(PDF) An n-Dimension Generalization of Rhombus Tiling

24 Joakim Linde, Cristopher Moore, and Mats G. Nordahl

2. Локальные перемещения соответствуют «переворачиванию» локального максимума в локальный минимум и наоборот . Так как

серия таких флипов может превратить любую мозаику в любую другую, то цепь Маркова, основанная на этих флипах,

эргодична.

3.Мы также можем определить частичный порядок мозаик, где a b, если hav hbv для всех v. Если локальное движение

монотонно в этом порядке, мы можем использовать связывание из прошлого для выборки совершенно случайных мозаик [41].

В частности, если образует дистрибутивную решетку, существуют максимальные и минимальные разбиения и , и

, мы можем ограничить время смешивания монотонной цепи Маркова, ограничивая время, необходимое для слияния и

[32, 43, 51].

4. В некоторых случаях статистика случайных замощений отображается на статистику упругих поверхностей.

связи между вершинами в решетке на расстоянии rapart затем затухают по степенному закону rη, где

показатель η зависит от жесткости поверхности (см., например, [6]).

5. Функции высоты также могут дать представление о природе и взаимодействии топологических дефектов, таких как

пробелы в мозаике или места, где нарушается локальное ограничение [16, 33].

Высотные функции также применялись физиками к целому ряду моделей, включая модели льда [2, 28],

треугольного антиферромагнетика Изинга [5, 39], модели димеров (так физики называют домино) [53, 30], и

другие.

В качестве обобщения идеи целочисленной функции высоты были найдены примеры, где

сама высота является вектором, задающим поверхность в четырех или более измерениях. К ним относятся антиферромагнитные модели

Поттса, модели раскраски связи и модели полностью упакованных петель на различных решетках [19, 27, 42, 6,

34]. Также были определены функции, подобные высоте, которые могут принимать плотный набор значений в комплексной плоскости

[35].

Другое обобщение состоит в том, что высота должна быть элементом неабелевой группы, и в этом случае каждый тип плитки

соответствует отношению в этой группе [9, 48, 22, 29, 46].Для домино это представление

сводится к обычному, где высоты являются целыми числами. В некоторых случаях эту группу можно использовать для построения

алгоритма с линейным временем, чтобы определить, можно ли замостить данную односвязную область [22]; это интересно

, так как эта задача вообще NP-полна даже для некоторых простых наборов плиток [31, 36] и неразрешима

для бесконечной решетки [3, 47].

В общем, эти идеи разбиваются на три или более измерения.Даже в простых мозаиках не хватает локальных

перемещений, которые являются эргодическими, и у нас очень мало инструментов для доказательства верхних границ времени смешивания. Фольклор говорит, что мозаика

не достаточна ни для 1 1 2 домино, ни для 2 2 1 плитки, и это

показано на рисунках 1 и 2. существуют и другие эффективные методы их случайного генерирования, но все же было бы неплохо понять их с точки зрения цепи Маркова.)

Мозаики, введенные в этой статье, по духу аналогичны другому обобщению мозаики ромба,

, изученному в [23, 14, 12, 11]. Это двумерные мозаики с n-мерными функциями высоты, а

— это n-мерные мозаики с одномерными функциями высоты. Однако они основаны на одной и той же идее

, а именно на проецировании кубической решетки более высокого измерения на пространство более низкого измерения. Эта идея

некоторое время была в сообществе физиков как способ создания квазикристаллов [40].

Мы знаем очень мало других примеров трехмерных и более моделей моделей с функцией высоты. Один

— это трехцветная модель на (гипер)кубирешетке, которую мы обсуждаем в разделе 6. Другой — из недавней работы

Рэндалла и Ингве [44]. Они рассматривают набор треугольных призм, сконструированных таким образом, чтобы последовательно

N-мерное обобщение ромбовидной мозаики

n-мерное обобщение ромбовидной мозаики

Авторы: Йоаким Линде ; Кристофер Мур; Матс Г.Nordahl

Некоторые классические мозаики, включая ромбы и домино, обладают функциями высоты, которые позволяют нам 1) доказать эргодичность и полиномиальное время перемешивания для цепей Маркова на основе локальных движений, 2) использовать связь из прошлого для выборки совершенно случайных мозаик, 3) сопоставляют статистику случайных мозаик в больших масштабах с физическими моделями случайных поверхностей и 4) связаны с явлением «полярного круга». Однако известно несколько примеров, для которых этот подход работает в трех или более измерениях.{n+2} log L)$ на областях размера $L$. При $n=3$ мозаики представляют собой ромбоэдры, а локальное перемещение состоит в переключении между двумя мозаиками ромбического додекаэдра. Мы используем связь из прошлого для выборки случайных мозаик большого ромбододекаэдра и показываем, что арктические регионы существуют в которой мозаика замораживается в неподвижном состоянии. Однако в отличие от двумерного случая, когда арктическая область представляет собой вписанную окружность, здесь она представляется октаэдрической. Кроме того, появляются флуктуации высоты между границей области и центром быть постоянной, а не возрастать логарифмически.Мы предполагаем, что это связано с тем, что физика модели находится в «гладкой» фазе, когда она является жесткой в ​​больших масштабах, а не в «грубой» фазе, в которой она эластична.

Том: DMTCS Proceedings vol. AA, Дискретные модели: комбинаторика, вычисления и геометрия (DM-CCG 2001)

Раздел: Труды

Опубликовано: 1 января 2001 г.

Импортировано: 21 ноября 2016 г.

Ключевые слова: мозаики, дискретные динамические системы. Квазикристаллы,[INFO] Информатика [cs],[INFO.INFO-CG] Информатика [cs]/Вычислительная геометрия [cs. CG],[INFO.INFO-DM] Информатика [cs]/Дискретная математика [cs.DM],[MATH.MATH-CO] Математика [math] /Combinatorics [math.CO]

Загрузить этот файлПросмотреть веб-страницу статьи

Плитки Пенроуза

Плитки Пенроуза

Пенроуз
Плитка

Кайл
Шульц

МАТЕМАТИКА
7200

Эта веб-страница содержит введение в плитки Пенроуза и их свойства.Открытые Роджером Пенроузом (1931 г.), британским физиком и космологом, эти
Мозаики непериодичны и включают в себя свойства золотого сечения.

Плитка

Мозаика создается, когда набор плоских фигур (плиток) заполняет
плоскость такая, что между плитками нет промежутков и никакие две плитки не перекрывают друг друга
разное. Плитки могут быть периодическими или непериодическими .

Периодические плитки

Периодическая мозаика повторяется через равные промежутки времени. Если вы в состоянии обрисовать
область замощения параллелограммом, а затем замостить остальную часть плоскости
путем перевода этого параллелограмма (повороты и отражения не допускаются),
тогда результирующая мозаика будет периодической. Примеры периодических мозаик включают
регулярные мозаики, мозаики, в которых используются только конгруэнтные правильные многоугольники (например,
в виде правильных шестиугольников, как показано ниже)

Изображение
Источник: Википедия

и многие узоры, представленные в творчестве М.К. Эшер (как показано
на врезке Рептилии ниже).

Изображение
Источник: Википедия

Мартин Гарднер (1989) дает проницательный способ думать о периодических
tilings: «Представьте, что плоскость покрыта прозрачной бумагой на
которым обведена каждая плитка. Только если плитка является периодической, вы можете сдвинуть
бумаги, без поворота, в новое положение, где все контуры снова точно
подходят. » (стр. 1)

Непериодические мозаики

Любая мозаика, которая не является периодической, называется непериодической.Там
много интересных видов непериодических мозаик. Некоторые используют конгруэнтные формы,
другие обладают самоподобными свойствами и т. д. (см. Пол
страницу Бурка о непериодических мозаиках для многочисленных примеров).

В большинстве случаев плитки, используемые в этих плитках, также можно использовать
для создания периодической мозаики. Однако есть некоторые плитки, которые заменяют .
непериодическая конфигурация. Как бы ни были расположены эти плитки, периодическая
плитка не может быть достигнута.Penrose Tilings использует такие плитки.

Penrose Tilings — Воздушные змеи и дротики

Одна пара плиток, которую Пенроуз использовал в поисках плиток,
имели 5-кратную симметрию, а черепичные плоскости представляли собой «дротик» и «воздушный змей».
Эти плитки создаются путем разделения определенного ромба так, как показано на рисунке.
на рисунке ниже (воздушный змей отображается желтым цветом, а дротик — фиолетовым. Примечание.
что золотое сечение фи присутствует в соотношении между длинами сторон плитки.

Конструкция этого пятиугольника достаточно проста, если
можно построить правильный пятиугольник. После построения правильного пятиугольника
построить его диагонали. Эти диагонали образуют второй меньший правильный пятиугольник.
Постройте диагонали этого пятиугольника. Вышеупомянутый ромб можно построить
от любых двух последовательных сторон исходного пятиугольника. Нажмите
Здесь для эскиза из блокнота геометрии, подробно описывающего эту конструкцию.

Можно заметить, что, как показано выше, воздушный змей и дротик
можно использовать для создания периодической мозаики, просто сдвигая ромб в
направление и расстояние, соответствующие его сторонам. (Ведь ромб
параллелограмм.) Чтобы эти плитки могли формировать непериодическую мозаику, другие
пришлось принимать меры. Пенроуз и Джон Хортон Конвей, математик из
Принстон, вывел правила укладки плитки. Самый простой способ заявить
эти правила заключаются в том, что если вершины плиток должны быть помечены головками
(H) и решка (T), как показано ниже, то могут быть только вершины одного типа.
совпадают.

Более интересный визуально способ описания правила расстановки
эти плитки, чтобы создать два различных пути на куски. Каждый путь изображен
на плитке в виде дуги окружности определенного цвета. Для двух плиток
чтобы быть смежными, пути одного цвета должны быть соединены.

Плитки с дротиками и воздушными змеями дают интересные, а иногда и
красивые изображения. Образцы ниже представляют очень маленькую выборку.

Изображение
источник: http://www.uwgb.edu/DutchS/symmetry/penrose. htm

Изображение
источник: http://www.flickr.com/photos/tiwonge/1678157943/

Изображение
источник: http://www.uwgb.edu/DutchS/symmetry/penrose.htm

Несколько веб-страниц предоставляют программное обеспечение для создания плиток Пенроуза.
. Один из них предоставляет Java
Апплет , позволяющий работать с воздушными змеями и дротиками.

Ромбические плитки Пенроуза

Второй набор плиток Пенроуза, состоящий из «толстого» ромба.
и «тонкий» ромб можно построить из вложенных пятиугольников
описано выше.Обратите внимание, что необходимо построить дополнительный параллельный сегмент
для толстого ромба.

Как и в случае с воздушными змеями и дротиками выше, эти плитки должны быть соединены
в соответствии с правилом, которое вызывает непериодичность. В этом случае красные вкладки
могут касаться только других красных вкладок, а зеленые вкладки касаются только других зеленых вкладок.

Некоторые примеры укладки ромбическими плитками см. на странице .
Веб-страница Стивена Коллинза
(у которого также есть генератор Пенроуза, который вы можете скачать) или Пенроуза
веб-страница в Science U .

Мозаики Пенроуза и золотое сечение

Как видно выше, соотношение длин сторон воздушного змея и
дротики связаны с золотой рацион фи. Золотые отношения также могут быть
найдены внутри ромбических плиток. Для толстого ромба со стороной, равной 1,
длина длинной диагонали равна фи. Для тонкого ромба со стороной 1,
длина короткой диагонали равна 1/фи.

Еще более интересна зависимость между количеством
типы плиток, найденные в одной из этих плиток.В то время как плиточник имеет некоторый выбор
с точки зрения расположения плиток, определенные конфигурации требуют
размещение одного типа плитки над другим. Таким образом, количество каждого вида
количество используемых плиток не определяется плиточником, а регулируется
геометрические свойства самих плиток. В самом деле, соотношение между
пронумеруйте каждый тип используемой плитки, как в случае воздушного змея / дротика, так и в случае ромбической плитки.
конфигурации, приближается к фи, поскольку вся плоскость мозаична.Математически заявлено:

Предлагается интересное занятие для учащихся. В небольших группах,
они могли создать плитку, используя любой набор плиток, записывая, сколько из них
каждая плитка используется после разных этапов (всего 10 плиток, всего 50 плиток, 100
общее количество плиток и т. д.). Следующие ссылки позволяют скачать шаблоны в формате pdf
для ромбических плиток и воздушных змеев
и Дартс .

Ресурсы

Книги :

Гарднер, М.(1989). Плитки Пенроуза к шифрам с лазейками. .. и возвращение
Доктор Матрица. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки.

Ливио, М. (2002). Золотое сечение: история фи, самого удивительного в мире
номер. Нью-Йорк: Бродвейские книги.

Веб-сайты :

Веб-страница Пола Бурка, посвященная непериодическим мозаикам: http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/texture_colour/nonperiodic/

Penrose Darts and Kites Generator Апплет: http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html

Ромбические мозаики Стивена Коллинза: http://www.stephencollins.net/web/penrose/

Свалка геометрии: http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/penrose.html

Ромбические мозаики в Science U: http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/penrose.html

Вернуться на домашнюю страницу Кайла Шульца

Часть 2: Мозаика ромб/ромб/ромб | Несовершенное соответствие

Автопортрет великого художника эпохи Возрождения Альбрехта Дюрера.

Великий художник эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер опубликовал свой трактат Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt (Курс искусства измерения с помощью компаса и линейки, часто называемый просто Руководство художника ) в 1525 году, почти за столетие до Гармонии мира . Руководство художника обобщает жизненный опыт одного из ведущих художников и граверов раннего Возрождения. Дюрер умер через три года после публикации.

Google разместил английский перевод Руководства художника в Интернете, но, к сожалению, в отличие от их онлайн-перевода Harmonices Mundi , он имеет ограниченный доступ и возможен только поиск небольших текстовых фрагментов.

Исходный текст доступен здесь, если вы умеете читать немецкий готский шрифт или просто хотите оценить красивое оформление и оформление книги. Дюрер был ведущим сторонником хорошей типографики и посвятил раздел Руководства художника обсуждению лучших методов. Если вы собираетесь опубликовать технический документ, быть художественным гением — большое преимущество!

Другим вариантом является версия из Википедии, транслитерированная в современный набор символов. К сожалению, Google Translate, похоже, не может многое понять из диалекта Дюрера. Лучший вариант, если вы не говорите по-немецки и хотите прочитать весь трактат в переводе, вероятно, попытаться отыскать его в академической библиотеке.

Правильные многоугольники

Иллюстрация Дюрера 3.6.3.6 однородная мозаика из Руководства художника .

Как и Кеплер, Дюрер был очарован правильными многоугольниками и многогранниками, хотя больше из-за их практических визуальных возможностей, чем как основа для математических теорий.

Большой раздел Руководства художника посвящен практическим способам построения различных кривых и правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля. Кеплер частично повторяет то же самое в первой книге Harmonices Mundi , но включает только математически точные конструкции. Более прагматичный Дюрер также включает приближения, в том числе для правильного семиугольника. (Можно доказать, что для этой фигуры нет точного построения с использованием линейки и циркуля.)

Дюрер был одним из первых, кто представил плоские бумажные модели, которые можно сложить в многогранники, и приводит более дюжины примеров.

Руководство художника также включает краткий раздел о мозаичных полигонах. Дюрер иллюстрирует три правильных мозаики, состоящие соответственно из квадратов, треугольников и шестиугольников, а также 4.Мозаика восьмиугольника 8.8 и равномерная мозаика 3.6.3.6 с ярким узором из шестиконечной звезды. Он также показывает примеры мозаики без края к краю с треугольниками и квадратами. Согласно предисловию к английскому переводу, рисунки плитки Дюрера могли быть вдохновлены узорами на полу, которые он наблюдал во время поездки в Нидерланды.

Мозаика в виде ромба

Три примера укладки ромбами из Руководства художника .

Возможно, самая интересная часть раздела мозаики Руководства художника , однако, это примеры мозаики ромба Дюрера.Ромб (или, более традиционно, ромб) — простейшая геометрическая форма, помимо правильного многоугольника. Как и в правильном многоугольнике, все ребра ромба имеют одинаковую длину. Однако ромб может иметь два разных угла вместо одного. Все ромбы имеют четыре стороны и в этом смысле их можно считать обобщениями квадратов. Действительно, квадрат можно определить как ромб, у которого оба угла равны.

Если один угол ромба равен α, то другой всегда равен π-α, поэтому при фиксированной длине ребра и ориентации ромб можно однозначно определить, указав один угол.Таким образом, они также напоминают правильные многоугольники, которые также можно однозначно определить, указав один угол.

Как и квадрат, любой ромб может замостить плоскость сам по себе, и Дюрер приводит пример такой замощения в Руководстве художника . (Это третья иллюстрация на изображении выше. )

Есть и другие интересные замощения плоскости, которые также работают для любого ромба независимо от угла. Один (не данный Дюрером) показан ниже. Он использует ромбовидные, шестиугольные и треугольные прототипы.Вы можете видеть, что один и тот же шаблон работает независимо от используемого ромба, и везде встречается один и тот же тип вершин, поэтому мы можем назвать это единой мозаикой с использованием как ромбов, так и правильных многоугольников. (Обратите внимание, что когда ромб является квадратом, это становится полуправильной мозаикой 3.4.6.4.)

Этот шаблон работает, потому что каждая вершина всегда включает в себя как малый угол, так и большой угол ромба, поэтому, если угол ромба равен α, то сумма углов равна α + (π — α) = π. Таким образом, сумма всегда равна π и не зависит от используемого ромба.

N-ромб — это фрагмент n-стороннего правильного многоугольника. Этот пример иллюстрирует 8-ромб и восьмиугольник.

Дюрер также включает примеры мозаик, которые зависят от определенных ромбов. Средний пример из трех примеров мозаики из Руководства художника , показанных выше, иногда называют кубом Некера, потому что он создает иллюзию трехмерных кубов. Малый угол ромба, который он использует, равен π/3.

Кеплер также включает мозаику куба Неккера в Harmonices Mundi , показанную на его диаграмме G.

N-ромбы и дробные ромбы

Первый пример из приведенного выше Руководства художника показывает, что определенный класс ромбов может образовывать полную вершинную звезду. В этом примере 8 одинаковых ромбов сходятся в центральной точке. В общем случае ромб, который позволяет n копиям встретиться в одной точке, имеет малый угол 2π/n.

Кажется, для ромбов с этим свойством не существует общего названия. На этом сайте я буду называть ромб с углом 2π/n n-ромбом .

Если малый угол ромба не делится нацело на 2π, я буду называть его дробным ромбом .

Существует очень тесная связь между n-ромбом и n-сторонним правильным многоугольником. Это связано с тем, что больший угол n-ромба равен π — (2π/n) = (n-2)π/n, что является формулой для внутреннего угла n-стороннего многоугольника.

В некотором смысле n-ромбы являются фрагментами n-сторонних многоугольников, и больший угол n-ромба может заменить n-сторонний правильный многоугольник в любой вершинной фигуре, включающей этот многоугольник.Этот факт важен для многих ромбовидных мозаик, которые мы рассматриваем на этом сайте.

Другие плитки

Dürer включает в себя ряд других необычных мозаик в Руководстве художника , в том числе мозаику с ромбами и шестиугольниками, мозаику с восьмиугольниками и неправильными треугольниками и даже несколько мозаик с семиугольниками и воздушными змеями.

В следующем разделе я уделю особое внимание мозаикам Дюрера, включающим ромбы и пятиугольники .

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка браузера на прием файлов cookie

Существует множество причин, по которым файл cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее распространенные причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки браузера, чтобы принять файлы cookie, или спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файл cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Попробуйте другой браузер, если вы подозреваете это.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
  браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы это исправить, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Предоставить доступ без файлов cookie
потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой вами страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в файле cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только та информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт
не может определить ваше имя электронной почты, если вы не решите ввести его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступ к
остальной части вашего компьютера, и только сайт, создавший файл cookie, может его прочитать.

Нарушенная симметрия и изменение критических свойств в фазовом поведении надмолекулярных ромбовидных мозаик